<T->
          Matemtica
          Imenes & Lellis
          7 ano
          Ensino Fundamental

          Luiz Mrcio Imenes
          Marcelo Lellis
                                
          Impresso Braille em
          8 partes na diagramao de
          28 linhas por 34 caracteres,
          da 1 edio, So Paulo,
          2009, Editora Moderna Ltda.

          Primeira Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~, 
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Dados do livro em tinta
          
          (C) Luiz Mrcio Imenes,
          Marcelo Lellis 2009

          Coordenao editorial:
          Juliane Matsubara Barroso

          Coordenao de arte:
          Wilson Gazzoni Agostinho

          Coordenao de reviso:
          Elaine Cristina del Nero

          ISBN 978-85-16-06259-0 

          Todos os direitos reservados
           Editora Moderna Ltda.
          
          Rua Padre Adelino, 758 
          -- Belenzinho -- So Paulo
          -- SP -- Brasil -- 
          CEP 03303-904
          Tel.: (11) 2602-5510
          Fax: (11) 2790-1501 
          ~,www.moderna.com.br~,
          2011
<p> 
                               I
 Dados Internacionais de
  Catalogao na Publicao
  (CIP) 
 (Cmara Brasileira do Livro,
  SP, Brasil)

 Imenes, Luiz Mrcio 
  Matemtica : Imenes & Lellis / Luiz Mrcio Imenes, Marcelo Lellis. -- 1. ed. -- So Paulo : Moderna, 2009.

  "Componentes curriculares : Matemtica".
  Obra em 4 v. para alunos do 6 ao 9 ano
  Edio no consumvel
  Bibliografia.
  
  1. Matemtica (Ensino fundamental) I. Lellis, Marcelo. II. Ttulo.

 09-00947           CDD-372.#g
<p>
 ndices para catlogo
  sistemtico:
 1. Matemtica : Ensino funda-
  mental 372.#g
<p>
                            III
 Luiz Mrcio Imenes

  Engenheiro civil pela Escola Politcnica da Universidade de So Paulo.
  Licenciado em Matemtica pela Faculdade de Filosofia, Cincias e Letras de Moema.
  Mestre em Educao Matemtica pela Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho.
  Professor em cursos para professores do Ensino Fundamental e Mdio.
  Autor de obras didticas e paradidticas de Matemtica.

 Marcelo Lellis

  Bacharel em Matemtica pelo Instituto de Matemtica e Estatstica da Universidade de So Paulo.
  Mestre em Educao Matemtica pela Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo.
<p>
  Assessor para o ensino de Matemtica no Ensino Fundamental.
  Autor de obras didticas e paradidticas de Matemtica.
<p>
                               V
 Caros alunos e alunas

  Escrevemos este livro pensando em voc. Mas voc perguntar: "Como fizeram isso se no me conhecem?". No conhecemos, mas imaginamos!
  Imaginamos algum que quer se descobrir, que tem curiosidade pelo mundo, que pode gostar de coisas variadas: dana, esportes, msica, jogos de computador etc.
  Imaginamos ainda que queira, um dia, ter uma profisso que lhe d felicidade e qualidade de vida e queira ser um cidado ou uma cidad atuante, consciente, que contribua para um mundo justo.
  Alm disso, sabemos que voc consegue aprender e desenvolver suas capacidades. E que tem opinies, quer pensar de maneira independente e ser responsvel pelas prprias decises.
  Tudo isso que idealizamos coincide com o que desejamos para nossos filhos e netos e para aqueles que foram nossos alunos. Sua famlia e seus professores desejam o mesmo e querem lhe proporcionar uma boa formao. Ns, autores, podemos contribuir um pouquinho para a conquista desses objetivos.
  A Matemtica, aprendida de maneira adequada,  til nas profisses e na formao de cidados. Desenvolve o raciocnio, ajuda a pensar de forma independente, contribui para a tomada de decises. Por isso, escrevemos este livro, que convida seus leitores a pensar, em vez de lhes dar receitas prontas; que prope problemas, no lugar de enfatizar exerccios repetitivos; que relaciona a Matemtica com diversos aspectos do mundo em que vivemos.
  Claro que isso s funciona com seu empenho, porque este livro pede concentrao, raciocnio e trabalho. Pense, pergunte, envolva-se na resoluo de problemas, conte como pensou, oua argumentos dos colegas e reflita sobre eles, discorde, mas justifique sua opi-
<p>
                            VII
 nio, informe-se, d palpites, participe da aula. Entre outros motivos, isso  necessrio para que seu professor ou sua professora possa orient-lo.
  No se sinta obrigado a resolver todos os desafios, mas empenhe-se sempre porque o aprendizado da Matemtica traz frutos para toda a vida. Um deles aparece logo: acredite, aprender Matemtica  um prazer!

 Os autores
<p>
<p>
                             IX
 Caros pais e mes

  Os professores tm clara importncia na formao de seus filhos. Ns, autores, tambm contribumos um pouco. Por isso, dirigimo-nos aos alunos nas pginas anteriores e apresentamos o tipo de formao que desejamos para eles. Acreditamos que, no geral, vocs, pais, concordaro conosco.
  No entanto, alguns tero dvidas em relao a certos contedos de nossa proposta, porque analisaro o livro baseados em sua pr-
 pria experincia escolar. Acontece que a sociedade mudou, o ensino tem-se transformado e os critrios de competncia que valiam no passado no se aplicam mais. Atualmente, os objetivos so outros. Comparando os dois quadros seguintes, pode-se ter uma ideia do que  novo. Embora se refiram  Matemtica, os dados expressam um esprito de mudana que envolve a educao como um todo.

<R+>
 O que j foi importante:
 Possuir destreza em clculo numrico e algbrico feito com lpis e papel.
 Fazer muitos exerccios mecnicos para fixao.
 Conhecer receitas para resolver problemas tpicos.
 Decorar frmulas e definies.

 O que importa hoje:
 Possuir habilidades em clculo mental, estimativa e uso de calculadora.
 Compreender os usos da Matemtica na sociedade atual.
 Ter competncia para enfrentar problemas novos.
 Compreender conceitos e saber como as frmulas se originaram.
<R->

  As novas ideias no so apenas desejo de educadores progressistas. Elas correspondem tambm s exigncias da sociedade e do mercado de trabalho. Pouco a pouco, elas mudam o perfil dos exames vestibulares e concursos. Esses
<p>
                             XI
 novos paradigmas orientam nossa obra e explicam as diferenas entre nossa proposta e as do ensino tradicional, que conhecemos quando ramos estudantes.
  Quais os resultados das novas ideias na formao dos alunos?
  As experincias de muitas escolas e professores, pioneiros na implantao de novos projetos, atestam que j estamos formando estudantes autnomos e criativos, competentes para estudar e pesquisar por si mesmos.
  Os pais que desejam filhos criativos e autnomos no aprendizado podem e devem colaborar para isso. Vrias pesquisas comprovam um melhor desempenho de alunos cujos pais acompanham o trabalho escolar. No entanto, esse acompanhamento no implica ensinar, salvo rarssimas excees. As novas diretrizes educacionais, as propostas deste livro e a forma de trabalhar dos professores atuais indicam que  razovel os pais procurarem solues com os filhos, sem, porm, antecipar-lhes respostas. Poup-los do esforo do aprendizado impede que caminhem sozinhos e colham os frutos do prprio trabalho.

 Os autores
<p>
                           XIII
 Caros colegas professores e
  professoras

  Esta obra decorre de nossas ideias e experincias, mas tambm dos estudos e prticas em torno da Educao Matemtica. Professores, educadores, matemticos, psiclogos e outros profissionais constroem novos saberes que vm transformando o ensino e a aprendizagem de nossa disciplina em vrios pases, incluindo o Brasil. Com tais elementos, pudemos elaborar um trabalho inovador, cujas caractersticas detalhamos no Guia e Recursos Didticos.
 Aqui, vamos apenas lhes apresentar nossas concepes educacionais e motivaes em relao ao ensino de Matemtica, evitando questes tcnicas.
  Buscamos educar por meio da Matemtica, em vez de simplesmente expor contedos matemticos. Esse intuito se reflete nas atividades em que os alunos devem
<p>
 analisar textos, tirar concluses, pesquisar no dicionrio do livro (em suma, aprender a aprender); nas sees que estimulam a responsabilidade, como aquelas em que os alunos se conscientizam do que compreenderam (ou no); nos testes de autoavaliao e quando usamos recursos matemticos para mostrar aspectos bons ou maus de nossa sociedade.
  Queremos que todos aprendam Matemtica. Por isso, eliminamos diversos obstculos  aprendizagem determinados por uma tradio equivocada. Adequamos a exposio dos contedos  maturidade dos alunos, modificando a ordem tradicional quando era recomendvel e reapresentando-os mais de uma vez, sob diferentes enfoques, para ampliar oportunidades de aprendizagem e manter os alunos em contato com os contedos ao longo dos anos.
  Procuramos mostrar que a Matemtica tem sentido (no  somente um conjunto de frmulas e regras
<p>
                             XV
 inexplicveis), est em nosso dia-a-dia e contribui para a humanidade progredir. Por isso, relacionamos a Matemtica com a realidade, com outras disciplinas, com a histria humana. Destacamos suas aplicaes e exploramos os vrios significados de cada conceito trabalhado.
  Finalmente, tentamos transmitir um pouco do prazer que a Matemtica pode nos dar, propondo os problemas desafiadores, as investigaes que levam a descobrir padres surpreendentes, o trabalho em torno de arte e geometria etc.
  Tudo isso que desejamos pode se tornar realidade com a ajuda dos colegas que, por compartilharem de nossas ideias e terem motivaes similares, adotam esta obra. Aproveitando as propostas que lhes agradam, aprimorando as imperfeitas, substituindo outras por criaes prprias, vocs contribuiro decisivamente para os alunos se desenvolverem como indi-
<p>
 vduos e cidados competentes matematicamente, mais crticos e conscientes.

 Os autores
<p>
                           XVII
 Estrutura da obra

 Abertura de captulo

 Texto e leitura: para aprender a
  aprender

  Interpretar um texto, coment-lo criticamente, ter novas ideias baseado nele e usar informaes so competncias fundamentais.

 Conversando sobre o texto

 Dilogo e reflexo constroem a
  aprendizagem

  Discutir ideias matemticas oralmente, considerar outras opinies e saber discordar com argumentos favorecem uma aprendizagem efetiva e a formao do cidado.
<p>
 Ao/Investigao

 Aprendizado de forma ativa

  Jogos, construes de slidos geomtricos, experimentaes, investigaes com a calculadora e outras atividades ldicas so caminhos prazerosos para a aprendizagem.
  Em particular, as aes investigativas ajudam a descobrir, criar e produzir Matemtica!

 Problemas e exerccios

 Trabalho cooperativo com
  assistncia do professor

  Explicar uma resoluo, aprender com as ideias de colegas e procurar estratgias de soluo so capacidades que se desenvolvem com a ajuda da Matemtica.
<p>
                           XIX
 Problemas e exerccios para casa

 Momento de trabalho individual

  Estudando a ss, pode-se avaliar o aprendizado de conceitos e tcnicas, alm de reforar o que for necessrio.

 Confira!

 Os objetivos fundamentais do
  captulo

  Momento de conscientizao: saber o que foi aprendido ou no  o caminho para corrigir eventuais falhas.

 Um toque a mais

 Para ampliar a viso sobre a
  Matemtica

  A relao da Matemtica com o mundo, sua importncia em nosso dia-a-dia e no progresso humano e um pouco de sua histria so os atrativos dessa seo.

 Problemas e exerccios
  complementares

 Para quem quer ou precisa
  explorar mais

  Havendo necessidade, interesse ou tempo, esta seo oferece uma coleo de questes separadas por captulos e por itens.

 Supertestes para autoavaliao

 Outro recurso para promover a
  autonomia dos alunos

  Os testes propiciam a autoavaliao, desenvolvendo responsabilidade e segurana.
<p>
                            XXI
 Dicionrio

 Um recurso para promover a
  autonomia dos alunos

  A Matemtica tem um vocabulrio prprio, portanto  natural desconhecer o significado de certas palavras.
  Quem sabe consultar um dicionrio, entretanto, supera dvidas e adquire aos poucos o vocabulrio matemtico.

 Conferindo respostas

 Mais um recurso para a promoo
  da autonomia

  Esta seo oferece orientaes aos alunos sobre como aprender a decidir se chegaram a uma resposta adequada ou no. Essa  a base da autonomia.
<p>
 Sugestes de leitura para o aluno
  (pgina 1014)

 Quem aprende a gostar de ler
  quer sempre ler mais

  Para os alunos que descobriram sozinhos o prazer da leitura e para os que comearam a perceb-lo nesta obra, sugerimos novos textos.

 Referncias bibliogrficas
  (pgina 1021)

 Pesquisa

  Muitas leituras foram fundamentais para que pudssemos organizar esta coleo. Aqui, destacamos as obras principais.

<p>
                          XXIII
 Seu livro em Braille

  Este  o livro utilizado em sua classe, produzido em braille para voc. Ele contm as mesmas informaes que esto no livro do seu colega, porm, enquanto o livro comum apresenta ilustraes, cores e tamanhos variados de letras (grandes, pequenas, ligadas umas s outras, separadas), o seu li-
 vro em braille apresenta descries substituindo ilustraes e, em muitos casos, figuras so ex-
 plicadas, procurando fazer voc compreender o que elas representam.

  Dicas para estudar no seu livro em braille:
<R+>
 1 -- As pginas mpares deste livro apresentam duas numeraes na primeira linha: a que fica  direita  a do prprio livro em braille e a que est  esquerda  a do livro comum. Por esta, voc pode se localizar, de acordo com a orientao do professor, ou quando estiver estudando com outros colegas.
 2 -- Quando voc encontrar o sinal _`[ e, depois dele, uma frase terminada pelo sinal _`] saiba que se trata de uma explicao especial chamada "nota de transcrio", empregada nos livros em braille.
 3 -- Em alguns momentos, voc precisar contar com a colaborao de algum; por isto, foi colocada a frase "pea orientao ao professor" para sugerir que voc solicite informaes ou esclarecimentos.
 4 -- Sempre que voc encontrar nos textos alguma representao grfica ou descrio e tiver dvidas, pergunte a seu professor ou a outra pessoa capaz de esclarec-lo.
<p>
                            XXV
 Sumrio Geral

 Primeira Parte

 Captulo 1

<R+>
 Sistemas de numerao ::::: 1
 A escrita dos nmeros no
  passado :::::::::::::::::: 1
 Nosso sistema de
  numerao :::::::::::::::: 22
 Fraes no lugar de
  decimais ::::::::::::::::: 37
 Um toque a mais --
  O conflito entre 
  abacistas e algoristas ::: 50

 Captulo 2

 Construes geomtricas ::: 55
 ngulos ::::::::::::::::::: 55
 Circunferncias ::::::::::: 67
 Simetrias ::::::::::::::::: 79
 Ao/Investigao --
  Uma pesquisa sobre os
  ngulos dos tringulos ::: 93
<p>
 Medida dos ngulos dos
  polgonos regulares :::::: 95
 Ao --
  Trabalhando como um
  profissional de 
  desenho :::::::::::::::::: 106
 Um toque a mais --
  Geometria dos 
  parafusos :::::::::::::::: 110

 Segunda Parte

 Captulo 3
 
 Padres numricos ::::::::: 115
 Observando padres :::::::: 115
 Padres e 
  divisibilidade ::::::::::: 133
 Possibilidades e 
  padres :::::::::::::::::: 147
 Ao/Investigao --
  Possibilidades no
  jogo-da-velha :::::::::::: 158
 Um toque a mais --
  Um padro que entrou 
  para a histria :::::::::: 167
<p>
                          XXVII
 Captulo 4

 Operaes com nmeros 
  fracionrios ::::::::::::: 172
 Operaes com nmeros 
  decimais ::::::::::::::::: 172
 Operaes com nmeros 
  decimais: diviso :::::::: 184
 Ao --
  Estime e calcule :::::::: 192
 Clculos envolvendo
   fraes :::::::::::::::::: 196
 Um toque a mais --
  O motim 
  "quebra-quilos" :::::::::: 211

 Terceira Parte

 Captulo 5

 Medidas ::::::::::::::::::: 217
 Instrumentos e unidades 
  de medida :::::::::::::::: 217
 Unidades mais usadas 
  do sistema mtrico ::::::: 235
 Resolvendo problemas :::::: 249
 Medindo o tempo ::::::::::: 258
 Um toque a mais --
  Anos bissextos :::::::::: 276

 Captulo 6

 Nmeros negativos e 
  contabilidade :::::::::::: 282
 Os nmeros negativos e 
  os positivos ::::::::::::: 282
 Adio de nmeros com 
  sinais ::::::::::::::::::: 304
 Subtrao de nmeros com 
  sinais ::::::::::::::::::: 318
 Ao --
  Um jogo de perdas 
  e ganhos ::::::::::::::::: 323
 Expresses numricas :::::: 336
 Um toque a mais --
  Contas "de cabea" :::::: 350

 Quarta Parte

 Captulo 7

 Proporcionalidade ::::::::: 355
 Ao/Investigao --
  Usando Matemtica para 
  fazer previses :::::::::: 355
<p>
                            XXIX
 Grandezas diretamente 
  proporcionais :::::::::::: 357
 Mais proporcionalidade 
  direta ::::::::::::::::::: 371
 Grandezas inversamente 
  proporcionais :::::::::::: 392
 Um toque a mais --
  Pequena coleo de 
  problemas :::::::::::::::: 406

 Captulo 8

 Geometria: do espao 
  para o plano ::::::::::::: 413
 Conhecendo os poliedros ::: 413
 Ao --
  Analisando poliedros :::: 420
 Vistas, mapas, plantas 
  e cortes ::::::::::::::::: 431
 Ao --
  Desenhando a planta ::::: 439
 Localizao de pontos 
  no plano ::::::::::::::::: 442
 Um toque a mais --
  Geometria da bola de 
  futebol :::::::::::::::::: 456
<p>
 Quinta Parte

 Captulo 9

 Tratamento da 
  informao ::::::::::::::: 459
 Informaes numricas ::::: 459
 Calculando "quanto 
  por cento" ::::::::::::::: 479
 Grficos: retratos da 
  informao ::::::::::::::: 491
 Ao --
  O perfil estatstico 
  do 7 ano ::::::::::::::: 515
 Informaes 
  estatsticas ::::::::::::: 516
 Ao --
  Uma simulao 
  estatstica :::::::::::::: 523
 Um toque a mais --
  Meninas 
  empreendedoras ::::::::::: 531

 Captulo 10

 Multiplicao e diviso de 
  nmeros com sinais ::::::: 536
 A multiplicao ::::::::::: 536
<p>
                           XXXI
 A diviso ::::::::::::::::: 553
 Ao --
  Investigando o 
  funcionamento da 
  calculadora :::::::::::::: 563
 Clculos variados ::::::::: 569
 Um toque a mais --
  Um pouco de histria: 
  nmeros negativos :::::::: 577

 Sexta Parte

 Captulo 11

 Usando letras em 
  Matemtica :::::::::::::: 585
 Comunicando ideias :::::::: 585
 Calculando com letras ::::: 611
 Ao -- 
  Corrida algbrica ::::::: 625
 Um toque a mais --
  Frmulas no 
  computador ::::::::::::::: 632
<p>
 Captulo 12

 Permetros, reas 
  e volumes :::::::::::::::: 640 
 Permetros e reas :::::::: 640
 Ao --
  A geometria do 
  tangram :::::::::::::::::: 640
 Volumes ::::::::::::::::::: 655
 Volume do bloco 
  retangular ::::::::::::::: 668
 Um toque a mais --
  Um quilograma de chumbo 
  e um de algodo :::::::::: 678

 Captulo 13

 Equaes :::::::::::::::::: 684
 Letras para achar 
  nmeros desconhecidos :::: 684 
 Usando letras para 
  resolver problemas ::::::: 692 
 Resolvendo equaes ::::::: 703
 Regra de trs ::::::::::::: 716
 Um toque a mais --
  O famigerado problema 
  das torneiras :::::::::::: 729
<p>
                         XXXIII
 Stima Parte

 Problemas e exerccios 
  complementares ::::::::::: 735

 Oitava Parte

 Supertestes para 
  autoavaliao :::::::::::: 873
 Dicionrio :::::::::::::::: 928
 Conferindo respostas :::::: 966
 Sugestes de leitura 
  para o aluno ::::::::::::: 1014 
 Referncias 
  bibliogrficas ::::::::::: 1021
<R->
<p>
<p>
                           XXXV
 Nota de Transcrio

  Conforme o Cdigo Matemtico Unificado para a Lngua Portuguesa -- CMU, pginas 39 e 53, as fraes podem ser escritas, em braille, das seguintes maneiras:
<R+>
 A) "O numerador, precedido de sinal de nmero, escrever-se- na parte inferior da cela braille e o denominador na parte superior, este ltimo sem sinal de nmero."
 Exemplo: #:d (trs quartos). 
 B) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos (256) 
 Exemplo: 34 (trs quartos).
 C) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos #e#bef ~
 Exemplo: #:d~5
<R->
  Neste livro em braille, estas formas de representao sero aplicadas de acordo com a necessidade do contedo.

<11>
<p>
<Tmat. i. & l. 7>
<T+1>
 Captulo 1

 Sistema de numerao

 A escrita dos nmeros no passado

  Para contar, usamos os nmeros 1, 2, 3, 4, 5 etc., que foram os primeiros nmeros criados pelos 
seres humanos, h milhares de anos. Como surgiram esses nmeros? Por que foram criados?
  Podemos pensar que surgiram para as pessoas contarem suas posses. No entanto, eles j eram 
conhecidos antes de surgir essa necessidade. Uma prova disso  um osso de lobo encontrado por 
alguns arquelogos em 1937, na Europa. No era um pedao de osso comum. Nele havia marcas que 
indicavam contagem. Estudos revelaram que esse osso tem mais de 30.000 anos, remonta  poca em que 
os homens habitavam cavernas, viviam da caa, no plantavam e no tinham bens.
  Alguns estudiosos acham que os nmeros podem ter surgido por motivos religiosos, para marcar o 
tempo das cerimnias fnebres. Isso poderia explicar registros numricos to antigos quanto os do 
osso do lobo.
  Os primeiros seres humanos viviam da caa. Depois, seus descendentes desenvolveram a agricultura, 
o pastoreio e o comrcio. Com o tempo, surgiram as primeiras cidades e os grandes imprios. Com 
isso, foi preciso inventar maneiras mais adequadas de escrever nmeros, pois, convenhamos, no era 
nada prtico para um comerciante com mais de 100 sacas de arroz, por exemplo, fazer mais de 100 
marcas em um osso.
  Foram criados vrios sistemas de representao dos nmeros. Vamos apresentar dois deles. Mas 
ateno: no pretendemos que voc se torne craque em escrever nmeros usando essas representaes. 
Queremos apenas que voc compreenda melhor o nosso prprio sistema numrico.
  No Egito dos faras, h cerca de 5.000 anos, desenvolveu-se uma escrita numrica que utilizava os 
sinais representados na tabela a seguir.

<R+>
_`[{tabela adaptada com duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Smbolo 
 2 coluna: Valor

 Haste vertical; um
 Calcanhar; dez
 Corda enrolada; cem
 Flor de Ltus; mil
 Dedo dobrado; dez mil
 Girino; cem mil
 Homem com os braos levantados; um milho.
<R->

<12>
<p>
  Observe na tabela como os egpcios escreviam alguns nmeros.

<R+>
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Smbolo
 2 coluna: Valor

 Uma haste; 1
 Duas hastes; 2
 Trs hastes; 3
 Seis hastes; 6
 Um calcanhar; 10
 Dois calcanhares e trs hastes; 23
 Trs hastes e dois calcanhares; 23
 Uma corda enrolada e uma haste; 101
 Trs cordas enroladas; 300
 Duas hastes, uma corda enrolada e uma flor de Ltus; 1.102
 Trs dedos dobrados e um calcanhar; 30.010
<p>
 Um homem com os braos levantados, trs calcanhares e uma haste; 
1.000.031

_`[{uma mmia em seu caixo diz: "Os sinais da escrita egpcia chamam-se hierglifos"_`]
<R->

  Os egpcios agrupavam as quantidades de dez em dez, isto , eles tinham um sistema decimal, como 
o nosso. Alm da unidade, os sinais indicam dezenas, centenas, milhares etc. Em outras palavras, 
indicam *potncias* de dez (a dezena corresponde a 101, a centena, a 102 e assim por diante).

 Procure no dicionrio: potncia.

  Veja, a seguir, outro sistema numrico antigo, nascido no Imprio Romano, h mais de 20 sculos.
Os smbolos usados eram estes:

<R+>
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Smbolo
 2 coluna: Valor

<F->
pccccccclcccccccccccc
l 1   l 2        _
v-------v------------_
l {i    l um         _
v-------v------------_      
l {v    l cinco      _
v-------v------------_
l {x    l dez        _
v-------v------------_
l {l    l cinquenta  _
v-------v------------_
l {c    l cem        _
v-------v------------_
l {d    l quinhentos _
v-------v------------_
l {m    l mil        _
v-------v------------#       
<F+>

_`[{um homem com vestes romanas diz: "O sistema romano de numerao foi usado na Europa por mais de 1.000 anos!"_`]
<R->

  Nos exemplos seguintes, ao lado da escrita romana aparece a escrita correspondente no nosso 
sistema. Tente decifrar o cdigo romano.

<R+>
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Smbolo romano
 2 coluna: Valor

<F->
{i; 1 
{{ii; 2 
{{iii; 3      
{{iv; 4=5-1   
{v; 5
{{vi; 6=5+1  
{{vii; 7        
{{ix; 9       
{{xi; 11             
{{xl; 40=50-10
{{xci; 91      
{{ccclxii; 362 
{{mvi; 1.006      
{{mxlix; 1.049
<F+>
<R->
<p>
  Voc notou que, no sistema romano, a posio dos sinais na escrita de alguns nmeros  
importante? Por exemplo, IV e VI indicam quantidades diferentes IV={{vi. J no sistema egpcio, 
a posio dos sinais no tem importncia. Veja:

<R+>
_`[{um quadro com a seguinte simbologia egpcia: uma corda enrolada e trs hastes e embaixo trs hastes e uma 
corda enrolada. A menina aponta para esse quadro e diz: "So iguais ou diferentes?". Um homem com roupas egpcias diz: "So iguais. 
A posio no importa.  cento e trs nos dois casos. O sistema egpcio no  posicional"_`]
<R->

<13>
  A escrita numrica romana ainda  utilizada na indicao de sculos e em mostradores de relgios. 
Esse uso faz parte da tradio e tem valor cultural: faz as pessoas lembrarem-se das razes romanas, 
<p>
presentes tambm na lngua portuguesa, originria do latim falado na Roma antiga.
  O sistema numrico usado hoje no mundo todo tem uma longa histria. Ele desenvolveu-se na ndia e 
foi divulgado pelos rabes.  o sistema indo-arbico de numerao. Voc j o conhece bem, mas essa 
compreenso ainda no se encerrou. H sutilezas nesse sistema que voc perceber com o tempo. Por 
exemplo: voc j parou para pensar sobre o zero?

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Alm dos nmeros 1, 2, 3 etc., usados para contar, que outros tipos de nmeros voc conhece?
 b)  possvel supor que os habitantes das cavernas no precisavam dos nmeros em seu dia a dia? Por qu?
 c) Como alguns estudiosos explicam as marcas no osso de lobo?
 d) Como voc relaciona a criao dos nmeros ao nascimento da agricultura, da pecuria, do comrcio e das cidades?
 e) Voc sabe escrever 1.005 no sistema egpcio? E no sistema romano?
 f) Por que esses dois sistemas de numerao deixaram de ser utilizados?
 g) O sistema romano obedece a certas regras. Por exemplo: nenhum smbolo pode ser repetido mais do que trs vezes seguidas. Que outra regra desse sistema voc percebeu?
 h) O nosso sistema de numerao  decimal e posicional. E o sistema egpcio?
 i) O sistema romano  decimal e posicional?
 j) Como se escreve o zero nos sistemas antigos que voc estudou?
 k) Nas ilustraes do texto, aparecem uma mmia e uma charge de um senhor vestido com uma toga. Voc sabe por qu?
<p>
 Problemas e exerccios

 1. Este desenho est gravado num objeto que pertenceu ao rei egpcio Narmer, h uns 5.000 anos. Abaixo do desenho do touro est escrito, com hierglifos, o nmero correspondente  quantidade desses animais. Qual  esse nmero?

_`[{desenho de um touro e abaixo do desenho, com hierglifos, quatro girinos_`]

<14>
 2. Consulte o texto e escreva no nosso sistema de numerao.

_`[{figuras adaptadas_`]

 a) Trs calcanhares, duas hastes e um calcanhar.
 b) Duas hastes e quatro calcanhares.
<p>
 c) Trs cordas enroladas, trs calcanhares, trs hastes, trs cordas enroladas, trs calcanhares e trs hastes.
 d) Uma haste, trs calcanhares, uma haste e um calcanhar.

 3. Com apenas estes sinais: _`[haste, calcanhar e corda enrolada_`]  possvel escrever alguns nmeros de dois hierglifos. Por 
exemplo: _`[um calcanhar e uma haste, duas hastes, uma corda enrolada e um calcanhar_`]. H ainda outras trs possibilidades. Quais 
so elas?
 4. Escreva nmeros de dois algarismos em nosso sistema de numerao. Mas ateno: s vale usar os *algarismos* 1, 2 e 3 (por exemplo: 13 e 22). Escreva todas as possibilidades.

 Procure no dicionrio: algarismo.
<p>
 5. Observe uma adio no sistema de numerao egpcio. A maneira como a adio foi escrita no era usada pelos egpcios, mas as ideias so as mesmas. Preste ateno na troca de unidades por dezena.

_`[{figuras adaptadas_`]
 1 parcela: duas cordas enroladas, dois calcanhares e seis hastes.
 2 parcela: uma corda enrolada, um calcanhar e cinco hastes.
 A soma procedeu da seguinte forma: cinco hastes da 1 parcela com cinco hastes da 2 parcela e resultou em dez hastes. O agrupamento foi realizado formando um calcanhar; dois calcanhares da 1 parcela com um calcanhar da 2 parcela resultou em trs calcanhares; duas cordas enroladas da 1 parcela com uma corda enrolada da 2 parcela resultou em trs cordas enroladas. O resultado final ficou: trs cordas enroladas, quatro calcanhares e uma haste.

  Efetue como no exemplo.
 a) Uma corda enrolada e oito hastes + quatro calcanhares e cinco hastes.
 b) Uma flor de ltus, duas cordas enroladas e seis calacanhares + duas flores de ltus, quatro calcanhares e trs hastes.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 6. Isa precisa somar 45 com 28. Comea somando 5 com 8, que d 13 ou 1 dezena e 3 unidades. Veja como ela faz o registro:

_`[{isa aponta para um quadro-de-
  -giz onde h a operao 45+28 com somente a unidade 3 escrita no resultado, e diz: "Escrevo o 3. A dezena, junto com as outras 
dezenas". Aponta outra vez para o quadro com a operao 45+28=73 e diz: "Pronto. 45 mais 28 d 73"_`]

  Isa trocou 10 unidades por 1 dezena. Trocar 10 unidades por 1 dezena, 10 dezenas por 1 centena etc.  tpico de um sistema decimal. Agora  com voc.
 a) Efetue 356+472. Que troca voc precisou fazer para chegar ao resultado?
 b) Relacione o nosso modo de somar com a adio realizada no sistema egpcio.

 7. Consulte o texto e escreva no nosso sistema de numerao.
 a) VIII
 b) XIV
 c) LXXII
 d) MDLIX
 e) MMI
 f) CCCXXXIII
<R->
<p>
 Problemas e exerccios para casa

 Preciso estudar em casa?

  Na sala de aula, com seus colegas e com a orientao de seu professor, voc aprender muito. No entanto, para uma boa formao, tambm  necessrio o estudo em casa.
  Tentando resolver problemas sozinho, voc pode ter dificuldades, mas desenvolver sua capacidade de caminhar por si mesmo. Isso  bom para seu futuro. Voc poder pedir o apoio de alguma pessoa da famlia. Ela no deve fazer a lio por voc, mas poder dar uma dica, uma ajuda. Se ainda assim voc tiver dvidas, no faz mal, pois ningum  obrigado a saber tudo. Seu professor espera que voc seja persistente, se esforce e esclarea suas dvidas na sala de aula. 

<15>
<p>
<R+>
 8. Responda em seu caderno.
 a) Na poca em que os homens habitavam cavernas, como os nmeros eram escritos?
 b) Quando surgiu o sistema egpcio de numerao? E o sistema romano?

 9. Consulte o texto e escreva no sistema egpcio.
 a) 99
 b) 312
 c) 1.004
 d) 10.000

 10. Veja o texto e escreva no sistema romano.
 a) 7
 b) 19
 c) 43
 d) 136
 e) 499
 f) 847
<p>
 11. Faa o que se pede.
 a) No sistema romano, considere os nmeros maiores que DCC e menores que DCCC. Encontre, entre eles, trs nmeros escritos com apenas quatro sinais.
 b) Entre esses mesmos nmeros, encontre trs escritos com cinco sinais.
 c) Entre esses nmeros, qual  escrito com o maior nmero de sinais?
 d) No sistema indo-arbico, com quantos algarismos  escrito cada um dos nmeros entre 700 e 800?
 e) Considere apenas os nmeros usados para contar. Em nosso sistema, um nmero escrito com cinco  algarismos  maior que outro escrito com trs algarismos?
 f) No sistema romano, pode-se comparar dois nmeros pela quantidade de sinais com que cada um foi escrito?
<p>
 12. Faa o que se pede.
 a) Copie e complete as tabelas em seu caderno.

_`[{tabelas adaptadas_`]

 1)
 1510=...
 72810=...
 ...10=340

 2)
 Dois calcanhares e uma haste vezes um calcanhar  igual ...
 ... vezes um calcanhar  igual a duas flores de ltus e um calcanhar.
 Uma corda enrolada e trs hastes vezes um calcanhar  igual ...

 3)
 {{lx vezes {x  igual ...
 {{cxv vezes {x  igual ...
 ... vezes {x  igual a {{mccx.
<p>
 b) No sistema egpcio, qual  a regra para multiplicar por 
  _`[calcanhar_`]?
 c) No sistema indo-arbico, qual  a regra para multiplicar por 10?

 13.  tradio numerar os sculos usando o sistema romano. Veja:

_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Sculo
 2 coluna: Perodo

 I; 1 de janeiro do ano 1 at 31 de dezembro do ano 100
 II; 1 de janeiro do ano 101 at 31 de dezembro do ano 200
 III; 1 de janeiro do ano 201 at 31 de dezembro do ano 300

 a) O sculo XII corresponde a que perodo?
 b) Em que sculo Cabral chegou ao Brasil?
<p>
 c) Em que dia se comemorou a entrada do sculo XXI?
 d) Qual ser o ltimo dia do 3 milnio?

 14. Copie o diagrama em seu caderno e complete as palavras cruzadas:

_`[{o smbolo ** representa cada quadradinho da cruzadinha_`]

<F->
      1 2
        
  1 nt
        r
2 
      
3 s
      
<F+>

 Horizontais
 1. Grupo de cem unidades.
 2. Caracterstica do sistema em que, mudando a ordem dos smbolos, muda o valor do nmero.
<p>
 3. Nome dos smbolos que usamos atualmente para escrever nmeros.
 Verticais
 1. Caracterstica do sistema em que as quantidades so reunidas em grupos de dez.
 2. Nmero para o qual egpcios e romanos da Antiguidade no tinham smbolo.
<R->

<16>
 Nosso sistema de numerao

  O sistema de numerao que utilizamos desenvolveu-se na ndia, h mais de 1.500 anos. Os povos rabes, que construram o Imprio Islmico a partir do sculo VII, adotaram o sistema dos indianos h cerca de 1.100 anos. Esse sistema foi levado por eles  Europa, substituindo a escrita romana. Por volta do sculo XVI, o sistema espalhou-se pelo mundo.

_`[{mapa no adaptado_`]
  
  Devido a suas origens, nosso sistema  chamado indo-arbico. Observe no mapa anterior a extenso do mundo islmico, que, mil anos atrs, inclua parte da Europa.
  Vamos destacar as principais caractersticas do sistema indo-
 -arbico:
<R+>
 o Utiliza dez sinais, chamados algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0. O zero  um caso especial. Na maioria dos sistemas antigos, como o egpcio e o romano, no havia smbolo para indicar zero.
 o  decimal porque se formam grupos de dez em dez. Quando se escreve um nmero, o algarismo da direita representa as unidades e os demais representam dezenas, centenas etc. Esses agrupamentos podem ser indicados por potncias de dez. Veja o significado dos algarismos quando escrevemos 5.615:

 5; 6; 1; 5
 5: 5 milhares, 5.000 ou 5103.
 6: 6 centenas, 600 ou 6102.
 1: 1 dezena, 10 ou 1101.
 5: 5 unidades, 5.

 o  posicional porque o valor do algarismo depende de sua posio na escrita do nmero. Observe que, em 5.615, o algarismo 5 da esquerda representa 5.000, isto , 5103, enquanto o da direita vale 5.
<R->
  Um aspecto notvel do sistema criado pelos hindus: com apenas dez algarismos, podem ser escritos infinitos nmeros naturais. Compare com o sistema egpcio: com esses dois sinais _`[uma haste e um calcanhar_`], eram escritos todos os nmeros at 99. Para prosseguir, precisavam de mais um sinal: _`[uma corda enrolada_`]. Para escrever 1.000, havia outro sinal e assim por diante.
<p>
  No sistema indo-arbico, para prosseguir a partir do 99, no  necessrio criar um novo algarismo. Escrevemos 100, e o zero tem a funo de mudar a posio do 1, para que indique a centena, sem acrescentar qualquer outro sinal.
<17>
  Outro aspecto notvel do sistema indo-arbico: ele no serve apenas para representar *nmeros naturais*, mas tambm para representar quantidades fracionrias. Para isso, aos dez algarismos acrescenta-se a vrgula. Examine o diagrama:

<R+>
_`[{diagrama adaptado de 111,11_`]
 1: 100 ou 1 centena dividido por 10  igual a 10 ou 1 dezena.
 1: 10 ou 1 dezena dividido por 10  igual a 1 ou 1 unidade.
 1: 1 ou 1 unidade dividido por 10  igual a 0,1 ou 1 dcimo.
<p>
 1: 0,1 ou 1 dcimo dividido por 10  igual a 0,01 ou 1 centsimo.
 1: 0,01 ou 1 centsimo.
<R->

 Procure no dicionrio: nmeros 
  naturais.

  Percebeu a ideia? Os algarismos  direita da vrgula indicam partes da unidade. Elas so obtidas pela diviso da unidade por 10, 100, 1.000 etc.
   costume chamar os nmeros com vrgula (como 21,32 ou 7,5) de nmeros decimais. Os nmeros naturais tambm podem ser chamados decimais, pois podem ser escritos com vrgula e uma parte fracionria nula. Por exemplo, 322  o mesmo que 322,0.
  Agora, ateno: a escrita decimal e posicional com vrgula tem algumas propriedades diferentes da escrita sem vrgula.
  Por exemplo: acrescentando um zero  direita do 21, obtemos um novo nmero. Os algarismos mudam de posio: 2, que representa 2 dezenas em 21, passa a valer 2 centenas em 210. Mas veja s: acrescentando um zero  direita do 0,21 no obtemos um novo nmero, pois no muda a posio dos algarismos.

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Por que o sistema numrico que usamos  chamado indo-arbico?
 b) Faa um resumo das vrias caractersticas de nosso sistema de numerao.
 c) Nos sistemas antigos havia smbolo para indicar zero? Por qu?
 d) Como se l o nmero 0,1?
 e) Nos jornais, h nmeros escritos assim: 0,1 milho. Escreva esse nmero usando apenas algarismos.
 f) Qual  o resultado de 10354? E o de 100,023?
<p>
 g) Leia esta regra: "Para multiplicar um nmero natural por 10, basta escrever um zero  sua direita". A regra  vlida?
 h) Agora, leia esta outra regra: "Para multiplicar um nmero com vrgula por 10, basta escrever um zero  sua direita". A regra  vlida?
 i) Quantos dcimos formam uma unidade? Quantos centsimos formam um dcimo?
 j) Um dcimo e dois centsimos equivalem a quantos centsimos?
 k) Como voc escreveria por extenso o nmero 0,15? H pelo menos trs maneiras.

<18>
 Problemas e exerccios

 15. Para facilitar o entendimento dos nmeros decimais, podemos represent-los com figuras. Veja:
<p>
_`[{figuras adaptadas_`]
 1; uma unidade: um quadrado totalmente pintado.
 0,3; 3 dcimos: um quadrado dividido em 10 partes iguais; trs dessas partes esto pintadas.
 0,02; 2 centsimos: um quadrado dividido em 100 partes iguais; duas partes esto pintadas.
 0,30; 30 centsimos: um quadrado dividido em 100 partes iguais; trinta partes esto pintadas.

  Agora, responda em seu caderno.
 a) Qual  o nmero decimal representado neste desenho?

_`[{um quadrado totalmente pintado e um quadrado dividido em 100 partes iguais e trinta e trs dessas partes esto pintadas_`]
<p>
 b) Cleo fez este desenho para representar o nmero 0,68:

_`[{um quadrado dividido em 100 partes iguais e oito dessas partes esto pintadas e um quadrado dividido em 10 partes iguais e seis 
dessas partes esto pintadas_`]

  O desenho que ela fez est correto? 
 c) 1 dcimo e 2 centsimos so iguais a 12 centsimos?
 d) Qual  o maior nmero: 0,3 ou 0,30?
 e) Qual  o resultado de 100 vezes 2 centsimos?

 16. Qual  a quantidade indicada por 4,1 milhes? Veja duas formas de interpretar essa maneira de escrever.

 4,1 milhes =4.100.000
 4: 4 milhes; 4.000.000
 1: 1 dcimo de milho; 1.000.00010=100.000
 4,1 milhes =
 =4,1 vezes 1 milho =
 =4,11.000.000=
 =4.100.000,0
 O zero aps a vrgula foi cancelado.

  Interprete do jeito que voc preferir, e escreva s com algarismos.

_`[{a menina diz: "1 bilho tem 9 zeros!"_`]

 a) 0,4 milho
 b) 1,8 milho
 c) 11,8 milhes
 d) 0,3 bilho
 e) 4,6 bilhes
 f) 10,5 bilhes
<p>
 17. Observando multiplicaes de nmeros decimais por 10, 
  Jaelson descobriu uma regra.

_`[{quadro adaptado_`]

<F->
     pcccclccccclcccccclcccclcccc
     l C l D  l U   l d  l c  _
     v----v-----v------v----v----_
10 l    l 4  l 2,  l 3 l 1 _ 
     v----v-----v------v----v----_
     l 4 l 2  l 3,  l 1 l    _
     v----v-----v------v----v----#
<F+>

_`[{jaelson diz olhando para o quadro-de-giz: "Dezena vira centena, unidade vira dezena, dcimo vira unidade. Multiplicando por 10, 
os algarismos vo uma casa para a esquerda"_`]

<19>
<p>
  Agora, observe divises de nmeros decimais por 10.

_`[{quadros adaptados_`]

<F->
     pcccclccccclccccc
     l C l D  l U  _
     v----v-----v-----_
10 l 3 l 5  l 0  _  
     v----v-----v-----_
     l    l 3  l  5 _
     v----v-----v-----#

      pcccclccccclccccclcccclcccc
      l C l D  l U  l d  l c  _
      v----v-----v-----v----v----_
 10 l    l 1  l 2, l 3 l    _       
      v----v-----v-----v----v----_
      l    l     l 1, l 2 l 3 _                      
      v----v-----v-----v----v----#
<F+>

  Escreva a regra que voc descobriu.
<p>
 18. Veja duas maneiras de ler e registrar o nmero 30,65:
 o trinta inteiros, seis dcimos e cinco centsimos;
 o trinta inteiros e sessenta e cinco centsimos.
  Agora, fale e registre de duas maneiras os seguintes nmeros:
 a) 2,14;
 b) 100,038;
 c) 0,34;
 d) 5,506.

 Problemas e exerccios para casa

 19. Veja o que est escrito no cartaz. Ser que isso indica um nmero?

_`[{cartaz adaptado_`]
 3,062,000

  Indica sim, se for em um pas de lngua inglesa. Nesse caso, a vrgula tem a mesma funo dos espaos entre os algarismos. Por 
exemplo, ns escrevemos 1.000 e eles escrevem 1,000. J quando usamos vrgula, eles usam ponto: ns escrevemos 2,3 e eles, 2.3. 
Agora, responda.
 a) O nmero escrito no cartaz  maior do que uma dezena?
 b)  maior do que 103?
 c)  maior do que 106?
 d)  maior do que dez milhes?

 20. Os nmeros 1,1 e 1,10 so iguais. Represente cada um deles com desenhos (como no exerccio 15), para que se possa verificar essa igualdade.

 21. Ao preencher um cheque, indica-se o valor com algarismos e por extenso.

_`[{cheque adaptado_`]
 Nome do Banco: Banco da Praa
 Valor do cheque: R$3.045.100,08
 Valor por extenso: Trs milhes, quarenta e cinco mil, cem reais e oito centavos.
<p>
 Data: 15 de janeiro de 2011
 Quem passou o cheque: Teodoro Ramos da Fonseca.

  Escreva por extenso.
 a) R$3.028,17
 b) R$148.010,50
 c) R$93.000,00
 d) R$7.500.040,42

 22. Escreva em ordem crescente: 0,0019; 0,0009; 23,05; 23,009; 0,002.

 23. Copie e complete as tabelas em seu caderno.

_`[{tabelas adaptadas_`]

 a) 
 3,810=38
 1,5210=A
 {b10=0,35
 {c10=103
 0,00110=D
<p>
 b)
 73,2100=0,732
 8100=E
 0,4100=F
 G100=34
 H100=2,581

 c)
 21.000=0,002
 I1.000=0,107
 0,21.000=J
 L1.000=8
 M1.000=6,4
<R->

<20>
 Fraes no lugar de decimais

  Os nmeros com vrgula indicam quantidades fracionrias, isto , partes de um inteiro ou inteiros mais uma parte. A escrita decimal com vrgula apareceu no sculo XVI, na poca dos descobrimentos e da expanso do comrcio entre os povos. Entretanto, as quantidades fracionrias j eram indicadas por fraes no antigo Egito, h cerca de 5.000 anos.
  Na escrita da frao, usamos nosso sistema de numerao para indicar o *numerador* e o *denominador*, mas a frao em si no  escrita em nosso sistema.

 Procure no dicionrio: numerador, 
  denominador.

  Atualmente, os decimais so mais usados que as fraes expressando quantias em dinheiro, medidas etc. A razo  que  mais fcil calcular com eles. No entanto, ainda existem situaes em que  mais conveniente o emprego das fraes. Veja:

<R+>
_`[{a menina diz: "Como vamos dividir 3 chocolates entre ns quatro?". O menino diz: "U... Vamos quebrar cada barra em pedaos"_`]
<R->

  Como indicar essa diviso to simples usando a linguagem matemtica? Logo pensamos em efetuar 
<p>
34. Lembrando que 3=30 dcimos, a diviso  feita assim:

 34=30 dcimos 4=0,75

  34=0,75; portanto, cada criana deve receber 0,75 de chocolate.

<R+>
_`[{o menino diz: "75 centsimos para cada um? Divido cada chocolate em 100 partes e pego 75?"_`]
<R->

<21>
  O garoto reclama com razo. 
 Imagine dividir os chocolates em 100 pequenos pedaos! E o trabalho no para a: depois  preciso formar grupos de 75 pedacinhos, quantidade que cada criana deve receber.
  Tentar resolver o problema desse modo s complicou a situao. 
<p>
Mas  possvel pensar na diviso de outra maneira. Veja:
<R+>
 o Como os trs chocolates sero divididos entre quatro pessoas, dividimos cada barra em quartos:
<R->
<F->

    _   _   _    
 !:::w:::w:::w:::    
 l   _   _   _   _
 h:::w:::w:::w:::j
    _   _   _

    _   _   _
 !:::w:::w:::w:::
 l   _   _   _   _
 h:::w:::w:::w:::j
    _   _   _

    _   _   _
 !:::w:::w:::w:::
 l   _   _   _   _
 h:::w:::w:::w:::j
    _   _   _

<F+>
<R+>
 o Agora, podemos reparti-los entre as 4 crianas. Cada uma receber #:d de barra.
<R->

  Portanto, podemos concluir o seguinte: 34=#:d

<R+>
_`[{a menina diz: "Eu no imaginava que o resultado de uma diviso pudesse ser uma frao". O menino diz: "Isso posso fazer na prtica!"_`]
<R->

<22>
  Essa histria de dividir chocolates nos trouxe novos conhecimentos.
<R+>
 o Aprendemos uma maneira nova de indicar resultados de divises. Veja: 34=#:d
 o Percebemos que nmeros decimais e fraes podem ser iguais. Por exemplo:
  #:d=0,75, porque ambos resultam de 34 e indicam a mesma quantidade.
 o Notamos que o trao de frao equivale a um sinal de diviso. Vejamos um exemplo. Indicamos o clculo da mdia aritmtica dos nmeros 6,5, 7,5 e 10 assim: m=(6,5+7,5+10)3
  Conhecendo o novo significado do trao de frao, podemos escrever tambm: 
  m=?6,5+7,5+10*3

_`[{o significado do trao de frao e da diviso  o mesmo no sistema Braille_`]
<R->

 Conversando sobre o texto

<R+>
 a) Cite algumas situaes prticas em que aparecem nmeros com vrgula.
 b) Quais so as duas maneiras de indicar quantidades fracionrias?
 c) Qual dessas maneiras  a mais antiga? Qual  a mais usada atualmente?
 d) O texto se refere  poca dos descobrimentos. Que poca foi essa? Que descobrimentos foram esses?
 e) D exemplos de utilizao de nmeros com vrgula em atividades comerciais.
<p>
 f) Voc j sabia que o resultado de uma diviso pode ser uma frao?
 g) Responda rpido: quanto  17?
 h) Cite algumas fraes iguais a 0,5.
 i) D exemplo de uma frao igual a 0,3.
 j) Em sua opinio, fraes e nmeros decimais so a mesma coisa?

<23>
Problemas e exerccios

 24. Faa um desenho mostrando que o resultado de 23  #;c.
  Represente, por exemplo, 2 *pizzas* divididas entre 3 pessoas.

 25. Vamos transformar a frao #;e em nmero decimal. Como essa frao equivale a 25, dividimos e obtemos o decimal.
  Logo: 25=0,4
<p>
  Agora, reescreva em seu caderno na forma decimal.
 a) #:e
 b) #!e
 c) #,d
 d) #?d
 e) #=bj
 f) #,h

 26. Com base nos resultados do exerccio anterior, escreva em seu caderno as seguintes fraes em ordem crescente:
 #:e, #!e, #,d, #?d, #=bj, #,h

 27. Podemos transformar fraes em nmeros decimais e vice-versa. Veja:

 0,75=#=?ajj=#:d
 7525=3
 10025=4

  Escreva na forma de frao e simplifique.
 a) 0,6
 b) 0,25
<p>
 c) 0,26
 d) 1,2

 Problemas e exerccios para casa

 28. Observando a figura, conclumos que #,e=#;aj=0,2

_`[{figuras adaptadas_`]
 Um quadrado dividido em cinco partes iguais, sendo que uma parte est pintada; outro quadrado dividido em dez partes iguais, sendo
que duas partes esto pintadas.

  Copie as igualdades em seu caderno, completando-as de acordo com a figura:

_`[{figuras adaptadas_`] 
 a) Um quadrado dividido em vinte e cinco partes iguais, sendo que quinze partes esto pintadas; outro quadrado dividido em dez partes, iguais sendo que seis partes esto pintadas.
 b) Um quadrado dividido em quatro partes iguais, sendo que uma parte foi pintada; outro quadrado dividido em cem partes iguais, sendo que vinte e cinco partes esto pintadas.

<24>
 29. No exerccio anterior, voc transformou fraes em nmeros decimais utilizando figuras. Agora, use a diviso e transforme as seguintes fraes em decimais.
 a) #,,ej
 b) #:be
 c) #*ge
 d) #=e

 30. Para resolver esta questo, voc precisa conhecer os *smbolos* o e . As fraes so as mesmas que aparecem no exerccio anterior.
 a) Duas das fraes so iguais. Quais?
 b)  verdade que #,,ej>#:be?
 c)  verdade que #=e>#,,ej?

 Procure no dicionrio: smbolo.

 31. Efetue as expresses, sabendo que os resultados so nmeros naturais.
 a) ?0,7+13,3*?1,40,1*
 b) ?3,12+0,39*?4-25,5*
 c) ?8-4,77*?21,615*
 d) 1,8~?0,52*+0,8

_`[{uma mulher diz: "Na expresso do item *d*, 1,8 deve ser dividido pelo resultado de 0,5 dividido por 2. Por isso, comece dividindo 0,5 por 2"_`]

 32. Copie e complete a tabela em seu caderno. Coloque V, se for verdadeiro, e F, se for falso.
  *Dicas*: ficar mais fcil se voc transformar as fraes em decimais.

_`[{tabela adaptada em quatro colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Frao
 2 coluna: Maior que #,b
<p>
 3 coluna: Menor que 1
 4 coluna: Maior que #,b e menor que 1

<F->
pcccccclcccccclccccclccccc
l 1  l 2  l 3 l 4 _
v------v------v-----v-----#
l #,aj l F   l V  l F  _  
v------v------v-----v-----#
l #,c  l ...  l ... l...  _
v------v------v-----v-----#
l #?c  l ...  l ... l ... _
v------v------v-----v-----#
l #?g  l ...  l ... l ... _
v------v------v-----v-----#
l #i  l ...  l ... l ... _
v------v------v-----v-----#
<F+>

 33. Faa o que se pede.
 a) Escreva na forma decimal: #,i, #;i e #:i.
 b) Sem fazer contas, apenas com base no padro que voc observou no item anterior, d a forma decimal de #i, #?i, #!i, #=i e #"i.
<R->
<p>
 Confira!

  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
  dar exemplos de escritas numricas em sistemas de numerao antigos;
  explicar por que nosso sistema  decimal e posicional;
  ler, registrar e comparar nmeros decimais e fraes;
  explicar por que o trao de frao indica diviso;
  escrever fraes na forma decimal e vice-versa.

_`[{a menina escreve no quadro-de-giz: #,d=#;?ajj=0,25 e #,d>#,e_`]
<R->

<25>
<p>
 Um toque a mais

 O conflito entre abacistas
  e algoristas

  Dizem que um rico comerciante europeu do sculo XV queria dar uma boa educao a seu filho para que este pudesse, mais tarde, dirigir os negcios com competncia.
  O comerciante sabia que a habilidade de fazer contas era parte importante dessa educao e descobriu que o rapaz conseguiria aprender adies e subtraes nas universidades francesas ou alems, porm as multiplicaes e divises ele s aprenderia nas escolas italianas, as mais avanadas do mundo.
  Essa histria talvez no seja verdadeira, mas a dificuldade que ela relata  real. Isso porque na Europa do sculo XV ainda era usado o sistema romano de numerao. Nesse sistema, no  nada 
<p>
prtico fazer, por exemplo, {{mdccxliv{{cdxiii.

<R+>
_`[{foto descrita por sua legenda_`]
 Legenda: Especialista de clculo com o baco de peas efetuando suas operaes aritmticas, segundo uma ilustrao europeia do sculo XV.
<R->

  Na verdade, os clculos eram executados em bacos que, naquela poca, eram mesas com linhas riscadas no tampo e um monte de fichas. Com isso, faziam-se os clculos, mas no era simples!
  O sistema de numerao atual j era usado na ndia por volta de 600 d.C. Em torno de 850, seu uso j se espalhara pelo mundo rabe, em parte graas aos trabalhos de muitos sbios, como o matemtico muulmano 
 Al-Khovarizmi. No final do primeiro milnio, alguns europeus j dominavam esse sistema, que chamamos indo-arbico.
  O monge francs Gerbert 
 d'Aurillac, que se tornou o papa Silvestre II, conhecia o sistema de numerao que utilizamos e tentou divulg-lo. Infelizmente, ele foi papa por apenas cinco anos, pouco tempo para atingir seus objetivos. Mais tarde, em 1202, o matemtico italiano 
 Leonardo de Pisa, apelidado de Fibonacci, publicou um livro em que explicava como escrever os nmeros e calcular no novo sistema.
  Apesar desses propagandistas, a ideia no "pegou" facilmente. Os abacistas, que dominavam a difcil arte de calcular em bacos, tinham grande prestgio e eram bem pagos pelo seu trabalho. Naturalmente, eles fizeram de tudo para impedir a difuso das novas tcnicas. Como o novo sistema fora trazido pelos rabes muulmanos, os abacistas espalharam a ideia de que eram 
<p>
tcnicas de "infiis", de amigos do demnio.

<R+>
_`[{foto descrita por sua legenda_`]
 Legenda: Esta gravura de 1503 ilustra a vitria dos novos mtodos. A senhora Aritmtica olha com prazer na direo do algorista. Repare que at seu vestido est decorado com algarismos indo-arbicos.
<R->

<26>
  A Igreja Catlica, que tinha grande autoridade em toda a Europa, apoiou os abacistas por vrios sculos. E as pessoas que adotaram o novo sistema -- chamadas algoristas -- foram presas, sob a alegao de exercerem prticas
anticrists. Mas, no final, venceu a praticidade!
  O conflito entre abacistas e algoristas lembra o que j ocorreu (e, s vezes, ainda ocorre) em algumas escolas brasileiras. A calculadora, surgida por volta de 1970, logo conquistou comerciantes e muitos outros  profissionais.No entanto, na escola era considerada nociva e seu uso, proibido. Acontece que, muitas vezes, h pessoas ou grupos que querem impedir a propagao de novas ideias. Em alguns casos, no se faz isso por mal;  que o ser humano tem medo do que  novo. Em outros casos, age-se assim para manter benefcios pessoais e os defensores das novas ideias podem at ser perseguidos. Mas a histria mostra, frequentemente, que as novas ideias, quando convm  maioria, acabam se impondo.

               oooooooooooo
<27>
<p>
 Captulo 2

 Construes geomtricas

 ngulos

  No estudo das formas geomtricas, um dos conceitos usados  o de ngulo. Podemos us-lo para diferenciar uma forma de outra. Os tringulos, por exemplo, podem ser classificados de acordo com seus ngulos.

_`[{figuras no adaptadas_`]

  A importncia dos ngulos, entretanto, no  s terica. Eles aparecem em situaes cotidianas. Por exemplo, nas ruas em que  permitido estacionar a 45...

<R+>
_`[{carros estacionados um ao lado do outro formando um ngulo de 45}_`]
<R->
<p>
  ... e nas rotas dos avies, como voc ver logo mais.
  Voc pode observar alguns ngulos em instrumentos de desenho.

<R+>
_`[{figuras descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: Esquadro com ngulos de 45} e 90}.
 Legenda 2: Esquadro com ngulos de 30}, 60} e 90}.
<R->

<28>
  H um instrumento de desenho, o transferidor, que foi inventado especialmente para medir e construir ngulos.

<R+>
_`[{figura descrita por sua legenda_`]
 Legenda: No transferidor, o ngulo de uma volta  dividido em 360 ngulos de 1} cada um.
<R->

  Veja como se constri um ngulo de vrtice P, medindo 37:
<R+>
 1) Traa-se um lado do ngulo e marca-se o ponto P.
<p>
 2) Coloca-se o dimetro do transferidor sobre o lado, de modo que o centro do transferidor coincida com P. Depois, marca-se o ponto correspondente a 37 no transferidor.
 3) Para terminar, traa-se o outro lado do ngulo, que deve passar pelo ponto P e pelo ponto referente a 37.
<R->
<29>
  As medidas de ngulos so usadas, por exemplo, na determinao da rota de avies.
  Observe o mapa e a bssola 
 _`[no adaptados_`]. Note que a agulha da bssola aponta para o norte, que corresponde a 0, e que do norte para o leste h 90, do norte para o sul h 180 e do norte para o oeste, 270. Os pontos A, B e C indicam aeroportos. O avio percorreu a distncia {a{b e, agora, est percorrendo a distncia {b{c.
  {a{b forma um ngulo de 25 (medido no sentido horrio) com a direo norte. Por isso, diz-se que o avio seguiu a rota 25. Em B, houve um giro de 40 para a direita. Como {b{c forma um ngulo de 25+40=65 com a direo norte, diz-se que o avio tomou a rota 65.

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Tente explicar o que so tringulo obtusngulo e tringulo acutngulo.
 b) O ngulo entre os ponteiros do relgio, s 11 h,  de 30. Por que 30? Como foi encontrado esse valor?
 c) Das 11 h para as 11 h 30 min, quantos graus gira o ponteiro pequeno? E o grande?
 d) O que h de parecido nos dois tipos de esquadros mostrados no texto?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
 e) Que vantagens e desvantagens voc v em estacionar a 45?
 f) O que  sentido horrio?
 g) No percurso do avio, se em B tivesse havido um giro de 10 para a esquerda, isto , no sentido anti-horrio, qual seria a rota {b{c?
 h) D exemplo de uma situao cotidiana na qual a noo de ngulo tem alguma importncia.

<30>
 Problemas e exerccios

_`[{para as atividades de 1 a 4, pea orientao ao professor_`]

 1. Use o transferidor e desenhe em seu caderno ngulos com estas medidas.
 a) 50
 b) 132
<p>
 2. Mea cada um dos ngulos:
<F->
a)
       
      
     
    
   
  
 
---------

b)       
      
      
      
      
      
     
      
       ---------
<F+>

 3. Cada um dos crculos _`[no adaptados_`] foi dividido em 8 partes iguais. Os ngulos esto indicados pelas regies coloridas.
 a) Sem usar o transferidor, diga quais so as medidas dos ngulos :a, :b, :c e :d. Explique seu raciocnio.
 b) Copie em seu caderno apenas as afirmaes verdadeiras:

_`[{o professor diz ao apontar para o sinal >: "Este sinal quer dizer  maior que"_`]

 :a=:d
 :co:a
 :b:c
 :co:d
 :b=:d
 :a:c

 4. Na figura _`[no adaptada_`], h vrios ngulos, todos com vrtice no ponto 0.
  Para nos referirmos claramente a cada um deles, usamos a seguinte notao:

_`[{figuras descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: ngulo :?{a{o{b*
<p>
 Legenda 2: ngulo :?{b{o{c*
 Legenda 3: ngulo :?{a{o{c*

  Na figura, :?{a{o{b* mede 16 e :?{a{o{c* mede 45. Voc pode conferir, se quiser. Para saber a medida de :?{b{o{c*, no  preciso usar o transferidor. Descubra como e encontre essa medida.

<31>
 5. Leia:

_`[{conversa entre um menino e uma menina que observam no quadro-de-giz dois ngulos. O menino diz: "O ngulo :A  maior que o :B". 
A menina diz: "Mas :B parece maior. Tem lados mais compridos". O menino diz: "Na medida do ngulo, s interessa quanto um lado gira 
para cair sobre o outro. O comprimento do lado no importa. Dizemos que lados de ngulos so semirretas". A menina 
diz: "Semirretas?". O menino responde: "Semirreta  uma linha reta que tem comeo, mas no tem fim". A menina diz: "No tem fim? 
Nunca acaba? S na imaginao!"_`]

  Agora, responda.
 a) O que  semirreta?
 b) Por que os lados dos ngulos so semirretas?

 6. Observe, no mapa _`[no adaptado_`], a rota do avio. Repare que o mostrador da bssola est dividido em 4 ngulos iguais.
  Veja a descrio do percurso do avio:
 O avio decolou de X num ngulo de ''' com o norte e chegou a P. Girou ''' para a esquerda, tomando a rota 41, e rumou para ''' Em T, girou ''' para a direita, tomando a rota 90, e rumou para O.
<p>
  Reescreva a descrio do percurso em seu caderno, completando-a.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<32>
 Problemas e exerccios para casa

_`[{para as atividades de 7 a 13, pea orientao ao professor_`]

 7. Faa o que se pede:
 a) Sem usar o transferidor, apenas observando as figuras, determine o maior e o menor dos ngulos indicados pelas regies coloridas.

_`[{figuras no adaptadas_`]

 b) Usando o transferidor, d as medidas dos ngulos :A, :B e :C.
<p>
 8. Sem usar o transferidor, determine as medidas dos ngulos. Depois, verifique sua resposta, medindo com transferidor.

_`[{figuras no adaptadas_`]

 9. D a medida do:
 a) ngulo de uma volta;
 b) *ngulo raso*;
 c) ngulo de #,d de volta;
 d) ngulo formado por duas *semirretas perpendiculares* de mesma origem.

 Procure no dicionrio: ngulo 
  raso, semirreta, perpendicularismo.

 10. Desenhe em seu caderno o mostrador de um relgio que marca meia-noite. Depois, responda:
 a) Em meia hora, quantos graus gira o ponteiro grande? E o pequeno?
<p>
 b) Quanto tempo gasta o ponteiro grande para girar 90? E o pequeno?
 c) Em 5 minutos, quantos graus gira o ponteiro grande? E em 1 minuto, quanto ele gira?

 11. Responda, sem usar o transferidor:
 a) O ngulo :?{a{o{c* mede 180 e :?{a{o{b* mede 38. Qual  a medida de :?{b{o{c*?

_`[{figura no adaptada_`]

 b) Qual  a medida do ngulo azul?

_`[{figura no adaptada_`]

 12. A natureza caprichou! As nove ptalas desta flor _`[no adaptada_`] formam ngulos iguais. Quanto mede cada um? Primeiro calcule; depois, confira o resultado usando o transferidor.
<p>
 13. O mapa _`[no adaptado_`] mostra as cidades A, B, C e D sobre uma malha quadriculada. O avio vai fazer o percurso A -- B -- C -- D. Descreva o percurso, dizendo quais so as rotas adotadas. Voc pode resolver esta questo sem usar transferidor, mas evite acidentes areos!
<R->

<33>
 Circunferncias

  A carne do peixe se deteriora com muita facilidade. Por isso,  preciso manter os peixes sob refrigerao to logo so pescados. Mas o que deve ser feito quando no h geladeira?
  H muitos sculos, os pescadores de Moambique empregam a defumao para conservar o pescado. Eles fazem uma fogueira na praia e espetam cada peixe em uma vara fincada na areia. O fogo desidrata os peixes que, assim, demoram mais a se estragar.
  Se as varinhas fossem espetadas muito perto do fogo, os peixes torrariam. Se ficassem muito distantes, o calor seria insuficiente para sec-los. Para que isso no acontea,  preciso dispor os peixes de modo que o calor os desidrate igualmente.
  Os pescadores resolvem esse problema usando um cordo e dois pedaos de pau.
  Cravando uma das estacas no cho e mantendo o cordo sempre esticado, desenham uma circunferncia na areia. Depois, fazem uma fogueira no centro, no local onde se fincou a estaca, e espetam as varas com peixes sobre a curva desenhada. Assim, todos os peixes 
<p>
secam por igual. D para perceber o porqu, no ? (1)
<34>
  Repare que o tamanho da circunferncia traada pelos pescadores depende do comprimento do cordo. Em Matemtica, esse comprimento corresponde ao raio da circunferncia. O raio determina o tamanho da circunferncia. Essa caracterstica -- de ter todos os pontos a igual distncia do centro --  prpria da circunferncia. Por isso, nas situaes em que essa caracterstica  necessria,  sempre usada a forma circular. Por exemplo, os ndios brasileiros da regio Norte constroem grandes ocas de base circular, onde vivem de 30 a 40 parentes.
::::::::::::::::::::::::::::::::::
<F->
<R+>
    (1) Adap.: CHERINDA, 
  Marcos. Secando peixe, descobrir a circunferncia. *Tlanu. Revista de Educao Matemtica*. Maputo: Ed. da Universidade Eduardo Mondlane, n.o 1, out. 1981. p. 13-15.
<R->
<F+>
<p>
 A forma circular protege todos, por igual, das fortes chuvas da regio, que mudam de direo conforme o vento.

<R+>
_`[{duas figuras descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: vista frontal da oca.
 Legenda 2: vista superior da oca.
<R->

  Para os filsofos gregos da Antiguidade, que viveram h 2.500 anos, a distncia imutvel dos pontos da circunferncia ao centro indicava regularidade, perfeio. Essa ideia de perfeio levou-os a acreditar que a Lua, os planetas e o Sol giravam em torno da Terra percorrendo trajetrias circulares. Essa propriedade fundamental da circunferncia tambm  muito usada pelos desenhistas que fazem projetos de mquinas e equipamentos. Entretanto, eles no usam estacas e cordes para traar circunferncias. Eles desenham com o compasso ou com o *mouse* do computador.
  Nas atividades deste item voc ver quantas figuras essa propriedade da circunferncia permite desenhar.

<35>
<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) O que voc sabe sobre Moambique? Qual  a lngua oficial desse pas?
 b) Por que os pescadores secam o peixe?
 c) Voc sabe o que  alimento defumado?
 d) O que fazem os pescadores para os peixes secarem por igual?
 e) Por que as varas com os peixes devem ser fincadas sobre uma circunferncia, em cujo centro acende-se a fogueira?
 f) O comprimento do cordo tem alguma importncia no processo?
 g) Qual  a propriedade da circunferncia que justifica a escolha dessa forma geomtrica pelos pescadores?
<p>
 h) Por que as panelas tm base circular?
 i) Quando profissionais se renem em torno de uma mesa retangular, quem ocupa a cabeceira? E se a mesa  circular, como eles se dispem?
 j) Voc sabia que, quando a Terra gira em torno do Sol, ela no percorre exatamente uma circunferncia? Voc sabe que curva ela percorre?

 Problemas e exerccios

_`[{para as atividades de 14 a 18, pea orientao ao professor_`]

 14. Faa o que se pede:
 a) Em seu caderno, marque um ponto C. Depois, com a rgua, assinale cuidadosamente os pontos X, Y, Z e W, cada um a 3 cm de C.
 b) Abra o compasso 3 cm, como mostra a figura _`[no adapta-
<p>
  da_`]. Com a ponta-seca em C, trace a circunferncia.
 c) O que voc observa quanto  posio dos pontos X, Y, Z e W em relao  circunferncia que traou?
 d) Existe algum ponto da circunferncia que dista 3,5 cm de C? Explique sua resposta.

 15. Faa o que se pede:
 a) Trace um segmento de reta {a{b de 5 cm.
 b) Abra o compasso 4 cm. Com centro em A, trace a circunferncia.
 c) Agora, abra o compasso 3 cm. Com o centro em B, trace a circunferncia.
 d) As duas circunferncias cruzam-se em dois pontos. Nomeie-os por C e D. D as medidas de {a{c, {a{d, {b{c e {b{d.
 e) Quanto mede cada lado do tringulo {a{b{c?
<36>
<p>
 16. Um desenhista deve fazer a planta de um conjunto de trs edifcios construdos em torno de uma praa triangular, como se v no esboo _`[no adaptado_`]:
 a) Desenhe o permetro da praa numa escala em que 1 cm representa 10 m.
  *Dica*: comece traando o lado maior, depois faa construes parecidas com as do exerccio anterior.
 b) Complete o desenho da planta.
  *Dica*: agora, use esquadros para traar as linhas *perpendiculares* aos lados do tringulo.

 Procure no dicionrio: perpendiculares.

 17. Veja a circunferncia _`[no adaptada_`] de centro C:
  {c{a, {c{b e {c{d so raios da circunferncia.
  {a{b  um dimetro da circunferncia.
<p>
  {x{y no  raio nem dimetro.
  Supondo que {c{d mea 7 cm, responda:
 a) Quanto mede {c{b?
 b) Quanto mede {a{b?
 c) {x{y pode ser maior que um raio?
 d) {x{y pode ser maior que o dimetro {a{b?
 e) Qual  a distncia de C at Y?

 18. Depois de enterrar seu tesouro, o pirata desenhou um mapa e escreveu as seguintes instrues: "Enterrei o tesouro a 
450 m da entrada da gruta e a 700 m da Ponta da Caveira". Descubra onde est o tesouro e descreva o local onde ele foi 
enterrado. *Dica*: para copiar o mapa _`[no adaptado_`], coloque sobre ele uma folha de papel transparente. Ateno para a escala.

<37>
<p>
 Problemas e exerccios para casa

_`[{para as atividades de 19 a 25, pea orientao ao professor_`]

 19. Os pescadores de Moambique desenharam na areia uma circunferncia de 3 m de raio, na qual fincaram as varas para secar os peixes. Vamos fazer de conta que os peixes so pontos dessa circunferncia e que o centro dela representa a fogueira.
 a) Qual  a distncia de cada peixe  fogueira?
 b) Quanto mede o dimetro dessa circunferncia?
 c) A distncia entre dois desses peixes pode ser de 5 m? Pode ser de 7 m?
 d) Qual  a maior distncia possvel entre dois desses peixes?

 20. Na figura _`[no adaptada_`], suponha que a circunferncia de centro A tenha raio de 3 cm e 
<p>
  a de centro B, de 2 cm.
  Diga quanto medem os segmentos:
 a) {a{b
 b) {c{b
 c) {a{d
 d) {d{b
 e) {e{b
 f) {a{e

 21. Dos pontos assinalados na figura do exerccio anterior, diga qual est:
 a) a 3 cm de A e a 2 cm de B;
 b) a mais de 3 cm de A e a menos de 2 cm de B;
 c) a menos de 3 cm de A e a menos de 2 cm de B;
 d) a 3 cm de A e a 6 cm de B.

 22. Um terreno retangular {a{b{c{d tem o lado {a{b medindo 60 m e o lado {b{c medindo 40 m. Nesse terreno h um edifcio com forma de cilindro, cuja base  um crculo com raio de 15 m. O centro do crculo  um ponto X, que dista 30 m tanto de B quanto de C. Use rgua, com-
  passo e esquadro e faa uma planta mostrando o terreno e a base do edifcio. Em seu desenho, use a escala 110, isto , faa 1 cm representar 10 m.
 23. Construa um tringulo com os trs lados medindo 6,2 cm. Depois, mea os ngulos desse tringulo e diga se ele  *regular*.

 Procure no dicionrio: polgono regular.

 24. Abra o compasso 3 cm e construa uma figura seguindo estes passos.

_`[{figuras no adaptadas_`]

  H seis tringulos na figura: {o{a{b, {o{b{c etc. Todos so regulares e iguais entre si.
 a) Quanto mede {a{b? E {b{c?
<p>
 b) Quanto mede o ngulo :?{f{a{b*? E o ngulo :?{a{b{c*?
 c) O hexgono {a{b{c{d{e{f{g  regular? Por qu?

 25. Construa um hexgono regular com lados de 4 cm.
<R->

<38>
 Simetrias

  A igreja de So Francisco de Assis, construda na cidade mineira de So Joo del Rei,  uma das mais belas obras do barroco brasileiro. Sua fachada, projetada por Aleijadinho e construda pelo mestre Francisco de Lima Cerqueira, que fez vrias mudanas no projeto original, tem uma simetria quase total. Esse tipo de simetria  chamado axial, palavra derivada de *axis*, um termo latino que significa "eixo".
<p>
  A simetria axial  uma caracterstica notvel de muitas formas geomtricas. Na geometria, a simetria axial, quando existe,  sempre total. 
  Na figura a seguir, o *losango* {a{b{c{d tem dois eixos de simetria indicados por e1 e e2 (leia "e um" e "e dois").

 Procure no dicionrio: losango.

  A reta e1  um eixo de simetria porque, se dobrarmos o losango ao longo de e1, o lado {a{d cair exatamente sobre o lado {a{b, o mesmo acontecendo com os lados {c{d e {c{b. Alm disso, podemos perceber que e1 passa pelo *ponto mdio* do segmento {d{b e  perpendicular a {d{b.
<p>
<F->
         _
         _ A
         #
        _ 
        _  
        _   
        _    
        _     
cccccccccccccpcc e2
  D    _     B
        _   
        _  
        _ 
         
         _ C
         _
         _ e1
<F+>

 Procure no dicionrio: ponto 
  mdio.

  Tambm podemos perceber que e1  eixo de simetria se imaginarmos que o losango gira 180 em torno do eixo e1, saindo do pla-
<p>
no em que est. Nesse giro, o eixo  fixo. Veja:

<F->
         _
         _ 
         #
        _ 
        _  
        _   
        _    
        _     
        _            
        _        
        _     
        _    
        _   
        _  
        _ 
         
         _
         _
<F+>

  Terminado o giro de 180, o losango voltar  posio inicial. Quem no o viu girar no saberia dizer se ele girou ou no.
<39>
<p>
  Alguns polgonos tm simetria axial, sendo que os polgonos regulares sempre tm vrios eixos de simetria.

<R+>
_`[{duas figuras descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: Um quadrado e dois de seus eixos de simetria. Quantos eixos so no total?
 Legenda 2: Um pentgono regular e trs de seus eixos de simetria. Quantos eixos so no total?
<R->

  Os polgonos regulares tm outro tipo de simetria. Trata-se da simetria de rotao. Observe a sequncia de desenhos _`[no adaptados_`].
  Percebeu? Girando o pentgono em torno de O, numa rotao correspondente ao ngulo :?{a{o{b*, ele acaba ficando na mesma posio.
  Em Matemtica se diz que o pentgono tem uma simetria de rotao (ou rotacional) de 72. Por que 72? Porque 5 giros iguais de 72 completam uma volta e fazem o vrtice A do polgono voltar  posio inicial. 3605=72.

<R+>
_`[{um homem diz: "Quando existe simetria, a figura pode fazer certos movimentos e acabar na mesma posio"_`]
<R->

  Os polgonos regulares aparecem em diferentes objetos. Veja dois exemplos: a cabea de um parafuso e um prato.

_`[{figuras no adaptadas_`]

  Para fabricar esses objetos,  preciso conhecer as propriedades dos polgonos regulares e saber constru-los. Para isso, h um mtodo simples, que explora a simetria de rotao dessas figuras. Voc vai conhec-lo e us-lo nas atividades seguintes.

<40>
 Conversando sobre o texto

<R+>
 a) A diagonal de um retngulo no  eixo de simetria desse polgono. Voc consegue mostrar isso usando um retngulo de papel?
 b) Que tipo de tringulo tem eixo de simetria? Voc pode desenh-lo?
 c) Um pentgono regular tem quantos eixos de simetria?
 d) D exemplo de um quadriltero que tem simetria de rotao de 90.
 e) Nas figuras do texto, h um parafuso de cabea hexagonal. Essa forma tem simetria de rotao de quantos graus?
 f) Explique que tipo de figura tem simetria de rotao.
 g) D um exemplo de simetria de rotao encontrada na natureza.
 h) O que h em comum entre a simetria axial e a de rotao?
<p>
 Problemas e exerccios

_`[{para as atividades de 26 a 30, pea orientao ao professor_`]

 26. Em quais figuras _`[no adaptadas_`] a reta *e*  eixo de simetria? *Dica*: se A e B so pontos simtricos, o eixo *e* divide {a{b ao meio e  perpendicular a ele.
 27. As figuras _`[no adaptadas_`] tm simetria rotacional em relao a um centro de rotao indicado por um ponto vermelho. De quantos graus  a simetria rotacional em cada caso?

<41>
 28. Faa o que se pede.
 a) Com um esquadro e uma rgua, trace duas retas perpendiculares. A partir delas, desenhe um losango com diagonais de 8 cm e 6 cm. Lembre-se de que suas diagonais esto nos eixos de simetria.
<p>
 b) D as medidas dos lados do losango que voc desenhou.

 29. Este  um tringulo _`[no adaptado_`] com um nico eixo de simetria.
 a) O tringulo  *issceles* ou *escaleno*? Por qu?
 b) O ngulo :B mede 70. Quanto mede o ngulo :C?
 c) Quanto mede o ngulo :?{a{m{b*?

 Procure no dicionrio: tringulo issceles, tringulo escaleno.

 30. Vamos desenhar um polgono regular de 9 lados.
  Para determinar o valor da simetria de rotao, devemos efetuar 3609=40.
  Traamos uma circunferncia e desenhamos ngulos de 40 com vrtice no centro.
  Marcamos os pontos em que os lados dos ngulos encontram a circunferncia.
<p>
  Ligamos cada ponto ao seu vizinho, at obter os 9 lados do polgono.
  Agora  sua vez:
 a) Abra o compasso 40 mm, trace uma circunferncia e, nela, um polgono regular de 8 lados. Siga o raciocnio usado na construo do polgono regular de 9 lados.
 b) Todos os lados do polgono desenhado devem ter, aproximadamente, o mesmo comprimento. Quanto mede cada lado?

 Problemas e exerccios para casa

_`[{para as atividades de 31 a 36, pea orientao ao professor_`]

 31. A simtrica da letra A, em relao ao eixo *e*,  tambm uma letra A. Mas a simtrica da letra B, em relao ao eixo *e*, no  uma letra B. Que 
<p>
  letras do nosso alfabeto so simtricas de si prprias, considerando um eixo de simetria vertical como nos exemplos a seguir?

_`[{letras no adaptadas_`]

<42>
 32. Usando rgua e esquadros, construa um tringulo issceles com as medidas indicadas no rascunho _`[no adaptado_`]. 
  Quanto medem os lados {a{b e {a{c e os ngulos :B e :C desse tringulo?

 33. Os polgonos _`[no adaptados_`] foram desenhados numa malha de tringulos regulares.
 a) No caderno, copie e complete a tabela:

_`[{tabela adaptada em quatro colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Polgono
 2 coluna: Tem todos os lados iguais?
 3 coluna: Tem todos os ngulos iguais?
 4 coluna: Nmero de eixos de simetria

 !::::::::::::::::::::
 l 1 _ 2 _ 3 _ 4 _
 r:::::w:::::w:::::w:::::w
 l A  _ sim _ no _ 2  _
 r:::::w:::::w:::::w:::::w
 l B  _ ''' _ ''' _ ''' _
 r:::::w:::::w:::::w:::::w
 l C  _ ''' _ ''' _ ''' _
 r:::::w:::::w:::::w:::::w
 l D  _ ''' _ ''' _ ''' _
 r:::::w:::::w:::::w:::::w
 l E  _ ''' _ ''' _ ''' _
 r:::::w:::::w:::::w:::::w
 l F  _ ''' _ ''' _ ''' _
 h:::::j:::::j:::::j:::::j

 b) Quais polgonos so regulares?
<p>
 34. Suponha que voc precise desenhar um polgono regular de 7 lados.
 a) Efetue 3607 para achar o *ngulo central*. Como a diviso no  exata, divida at a casa dos centsimos.
 b) De quantos graus, aproximadamente,  a simetria de rotao dessa figura?

 Procure no dicionrio: ngulo central.

 35. Siga as instrues:
  Trace uma reta *r* perpendicular  reta *s*. Na reta *r*, marque os pontos A e B, simtricos em relao ao eixo *s*. Depois, assinale o ponto M, comum s duas retas traadas.

_`[{figura no adaptada_`]
<p>
  Em *s*, marque um ponto P, acima de M. Com uma rgua, ligue P e A. Depois, ligue P e B.
  Em *s*, marque tambm um ponto Q, abaixo de M. Ateno: {m{q no deve ter a mesma medida de {m{p.
  Ligue Q e A e tambm Q e B.
  Agora, responda.
 a) O que se pode afirmar sobre as medidas de {p{a e {p{b e sobre as de {q{a e {q{b?
 b) O que se pode afirmar sobre as medidas dos ngulos :?{a{p{m* e :?{b{p{m* e sobre as de :?{a{q{m* e :?{b{q{m*?
 c) Qual  o tringulo simtrico de {a{p{q em relao  reta *s*?
 d) Quantos eixos de simetria tem o quadriltero {a{p{b{q?
 e) O quadriltero {a{p{b{q  chamado pipa. Voc teria alguma explicao para esse nome?
<p>
 36. Observe o desenho _`[no adaptado_`]. Ele tem simetria de rotao de 90 e parece at ter movimento.
  Faa um desenho desse tipo, em preto e branco, com simetria de rotao de 72.
<R->

<43>
 Ao/Investigao

<R+>
_`[{para essa atividade, pea orientao ao professor_`]
<R->

Uma pesquisa sobre os ngulos dos
  tringulos

 Procedimento 1

  Numa folha de papel, desenhe um tringulo cujos lados meam um pouco mais de 7 cm. O formato do tringulo fica por sua conta.
  Em cada lado do tringulo, marque dois pontos, cada um a 2 cm da extremidade. Depois, desenhe as linhas tracejadas como mostra a figura _`[no adaptada_`]. Para realar os ngulos do tringulo, pinte as trs pontas delimitadas pelas linhas tracejadas.
  Destaque essas pontas recortando nas linhas tracejadas. A seguir, junte-as, como se v na figura _`[no adaptada_`].
  A que concluses voc pode chegar observando o resultado?

 Procedimento 2

  Faa outro tringulo seguindo as mesmas instrues do procedimento 1. O novo tringulo no precisa ser igual ao primeiro. Recorte-o.
  Com base no modelo da figura _`[no adaptada_`], marque os ngulos do tringulo, tanto na frente quanto no verso do papel. Depois, faa as dobras 1, 2 e 3. Ateno: na dobra 1, a linha tracejada deve ser paralela  base do tringulo.
  A que concluses voc pode chegar observando o resultado?

 Relatrio

  Prepare um relatrio das duas tarefas. D o ttulo: "Investigao sobre ngulos de tringulos" para seu texto.
  Descreva o que voc fez nos procedimentos 1 e 2. Voc pode fazer desenhos para ilustrar os procedimentos. Depois, escreva as concluses.

<44>
Medida dos ngulos dos polgonos
  regulares

  Ao fazer os procedimentos descritos na Ao, voc deve ter percebido que a soma das medidas dos trs ngulos do tringulo  180 ou um valor muito prximo de 180. Por enquanto, vamos aceitar que o valor da soma  180. No 8 ano, provaremos que o valor  esse mesmo.
  A partir desse fato, podemos obter, sem uso do transferidor, a medida dos ngulos de qualquer polgono regular. Tomemos o caso do pentgono.
  Para constru-lo, divide-se uma circunferncia _`[no adaptada_`] em cinco partes iguais: 3605=72
  Os tringulos {a{o{b, {b{o{c, {c{o{d etc. so iguais e tm uma particularidade. Qual ?
  O tringulo {a{o{b  issceles, pois tem dois lados iguais, que so raios do crculo. Portanto, esse tringulo tem um eixo de simetria que passa por O e  perpendicular a {a{b. Conclumos, ento, que seus ngulos :B e :A tm a mesma medida *x*.
  Como a soma das medidas dos ngulos de qualquer tringulo  180,  verdadeira a igualdade:
 x+x+72=180
  Ou, usando a operao inversa:
 x+x=180-72
  Como 180-72=108, conclumos que:
 2.x=108
  Portanto, se o dobro de *x*  108, ento *x* vale 1082=54.
<45>
  Observando de novo a figura 
 _`[no adaptada_`], vemos que cada ngulo de um pentgono regular contm dois ngulos de 54. Logo, cada ngulo do pentgono mede 108.
  Em resumo, para obter a medida do ngulo do pentgono regular, ou de qualquer outro polgono regular, calcula-se:
<R+>
 o a medida do ngulo central correspondente ao polgono regular;
 o a medida de cada ngulo da base dos tringulos issceles determinados pelo ngulo central.
<R->
  O ngulo do polgono  o dobro da medida do ngulo da base desses tringulos.

 Conversando sobre o texto

<R+>
 a) Voc j sabia que a soma das medidas dos ngulos de qualquer tringulo  180?
 b) Para que foi usado o fato de a soma das medidas dos ngulos dos tringulos ser 180? Em outras palavras, o que foi possvel calcular conhecendo essa propriedade?
 c) Observe, na figura _`[no adaptada_`], o polgono regular de 9 lados. Quanto mede o ngulo central :?{a{o{b*? E quanto mede o ngulo :?{o{a{b*?
 d) Quanto mede cada ngulo do polgono regular de 9 lados?

 Problemas e exerccios

 37. Qual  a medida *x* em cada tringulo?
<F->
a)
  '
  l
  l 
  l  
  l   
  l    
  l42 
  l      
  l       
  l        
  l 95  x 
  v----------u
<p>
b)
       
        
         
          
     120   3 cm
            
  x          
--------------u
<F+>

 38. Calcule a medida dos ngulos de um *octgono* regular.

 Procure no dicionrio: octgono.

_`[{para as atividades de 39 a 41, pea orientao ao professor_`]

 39. Existem programas de computador que fazem desenhos segundo instrues do tipo "Avance tantos milmetros", "Gire tantos graus para a direita (ou para a esquerda)". Usando um desses programas, quero desenhar, na 
tela do computador, um tringulo 
<p>
  regular de lados iguais a 40 mm. Que instrues devo dar? 

<46>
 Resoluo
 
  Primeiro, fao um rascunho do tringulo:

<F->
           C
           
            
             
              
40 mm           40 mm
                
                 
                  
                   
                    
      40 mm    60  120
----------------------u-----
A                     B
<F+>

  Partindo de A, avano 40 mm e chego a B. Depois, dou um giro de 120 para a esquerda, porque cada ngulo do tringulo regular mede 60. Portanto, as instrues devem ser:
  "Avance 40 mm";
  "Gire 120 para a esquerda";
  "Avance 40 mm";
  "Gire 120 para a esquerda";
  "Avance 40 mm";
  "Gire 120 para a esquerda".

<F->
       
        
         
          
             
            
             
--------------u
<F+>

  Duas observaes:
  Com a ltima instruo, o cursor retorna  posio inicial.
  Podem-se abreviar as instrues:

  Repita 3 vezes:
 "Avance 40 mm";
 "Gire 120 para a esquerda".

 40. Veja o que o professor diz:

_`[{o professor diz ao desenhar um hexgono no quadro: "Para desenhar um polgono na tela do micro, usamos a medida do ngulo de fora, chamado de ngulo externo. Note que o ngulo externo mais o ngulo interno do um ngulo de 180}"_`]

  Agora, responda.
 a) Qual  a medida do ngulo externo do octgono regular? *Dica*: use o resultado obtido no problema 38.
 b) Que instrues devem ser dadas para se construir um octgono regular usando o mesmo tipo de programa apresentado no problema anterior?

 41. Este mosaico _`[no adaptado_`]  formado por hexgonos regulares.
<47>
  Observando o trecho destacado, percebemos que x+x+x=360.
  Portanto, a medida de cada ngulo interno de um hexgono regular : x=3603=120.
  Raciocinando assim, tambm se podem deduzir as medidas dos ngulos de certos polgonos, regulares ou no.
  Observe o mosaico _`[no adaptado_`], formado por quadrados e hexgonos.
 a) Os hexgonos so regulares? Justifique sua resposta.
 b) Quais so as medidas dos ngulos desses hexgonos?

 Problemas e exerccios para casa

_`[{para as atividades de 42 a 47, pea orientao ao professor_`]

 42. Um tringulo issceles {a{b{c tem o ngulo de vrtice A medindo 105 e lados iguais de 6 cm.
 a) Construa esse tringulo, usando transferidor, rgua e compasso.
 b) De acordo com a teoria aprendida, quanto devem medir os demais ngulos desse tringulo? 
  Confira sua resposta com transferidor e diga se a medida coincide com a teoria.

 43. O polgono estrelado da figura _`[no adaptado_`] foi construdo prolongando-se os lados de um pentgono regular.
  Uma aluna de 7 ano descobriu a medida *a* do ngulo da ponta da estrela e explicou seu raciocnio. Copie e complete a explicao em seu caderno:
  Como x+108 d ''', descubro que x=''' Pela mesma razo, descubro que y=''' Como *x*, *y* e *a* so medidas de ngulos de um ''', sei que x+y+a=180. Como x+y d ''', descubro que a=180-'''='''
<p>
 44. Usando o programa de computador referido no problema 39, que instrues devem ser seguidas para desenhar um pentgono regular?
 45. Calcule as medidas *x* e *y* destacadas no mosaico _`[no adaptado_`] formado por pentgonos regulares e losangos.

 46. Considere um polgono regular de 9 lados. Calcule a medida do:
 a) ngulo interno;
 b) ngulo externo.

<48>
 47. Com base nas informaes da figura _`[no adaptada_`], calcule a medida do:
 a) ngulo :?{a{b{d*;
 b) ngulo :?{c{b{d*;
 c) ngulo :?{a{b{c*;
 d) ngulo :?{a{d{c*.
<R->
<p>
 Ao

<R+>
_`[{para essa atividade, pea orientao ao professor_`]

 Trabalhando como um profissional de desenho
<R->

  Profissionais de desenho tcnico integram equipes de arquitetos, cartgrafos, engenheiros, publicitrios etc. Eles elaboram plantas, mapas, projetos de mquinas, smbolos que identificam empresas, entre outros desenhos. Usam diversos conhecimentos matemticos, alguns dos quais voc estudou neste captulo. Por isso, achamos que voc consegue fazer alguns dos trabalhos desses profissionais. Aceita o desafio?
  Rena esquadros, transferidor, rgua e compasso e trabalhe nas tarefas a seguir. As duas primeiras so de natureza tcnica; nas trs seguintes, voc enfrenta desafios como um profissional.

<R+>
 1. Relembre o traado de retas paralelas.

_`[{duas figuras descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: Ajuste o esquadro na reta *r*. Depois, ajuste a rgua no esquadro.
 Legenda 2: Deslize o esquadro sobre a rgua. Em cada parada do esquadro, voc pode traar uma reta paralela  reta *r*.

  Agora, construa um paralelogramo com lados de 5 cm e 7 cm e um dos ngulos com 65.

 2. Este  mais difcil: utilizando apenas rgua e compasso, desenhe um ngulo que mea 60.
<49>
 3. A figura _`[no adaptada_`] mostra o rascunho da logomarca (ou smbolo) de uma companhia area. Com as indicaes do rascunho, faa um modelo desse smbolo. Observe que h quatro 
<p>
  linhas paralelas entre si. Pinte a logomarca como achar melhor.
 4. O saguo de um museu  ornamentado com uma roscea _`[no adaptada_`]. Essa figura tem simetria de rotao de 45, construda com base num octgono regular. Crie sua roscea com simetria de rotao de 72. Imagine que ela lhe foi encomendada para ornamentar o saguo de um teatro.

 5. s vezes, arquitetos ou desenhistas devem criar mosaicos (como os das atividades 41 e 45) para pavimentar pisos ou decorar superfcies. Esse ser seu trabalho agora.
 a) Usando uma folha que tem dois modelos de mosaico, voc deve colorir cada um deles. Use cores diferentes para polgonos diferentes.
 b) Os dois mosaicos da folha foram construdos sobre uma malha triangular. Agora, voc deve *criar e colorir seu prprio mosaico* sobre uma malha triangular. Condio: o mosaico deve ter dois polgonos diferentes e pelo menos um deles precisa ser regular. Alm disso, o mosaico deve ter um padro que se repete por toda a superfcie do piso. Faa rascunhos antes. (*Dica*: no primeiro mosaico que voc coloriu, os dois polgonos eram regulares; no segundo, apenas um deles era regular.)
<R->

 Confira!

  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
  medir e desenhar ngulos com medidas dadas, usando transferidor;
  reconhecer a propriedade fundamental da circunferncia e saber us-la, por exemplo, para desenhar tringulos conhecendo as medidas dos lados;
<p>
  reconhecer simetrias axiais e de rotao e saber us-las, por exemplo, no traado de polgonos regulares;
  calcular medidas de ngulos em tringulos e polgonos regulares;
  traar retas paralelas e perpendiculares, usando rgua e esquadro.
<R->

<50>
 Um toque a mais

 Geometria dos parafusos (2)

  Em mquinas e equipamentos, so usados parafusos como os da foto _`[no adaptada_`].
::::::::::::::::::::::::::::::
<F->
<R+>
    (2) Adap.: IMENES, Luiz M. P.; JAKUBOVIC, Jos. Por que o parafuso  sextavado? *Revista do Professor de 
  Matemtica*. So Paulo: 
  Sociedade Brasileira de 
  Matemtica, n.o 4, jan./jun. 1984. p. 9-11.
<R->
<F+>
<p>
  O corpo desses parafusos tem rosca e forma cilndrica. A cabea tem forma de prisma, cuja base  um polgono regular de 4 lados ou de 6 lados. 
  Por que no h parafusos em que aparecem polgonos de 5 lados ou 8 lados ou qualquer outro polgono? Vamos descobrir analisando as propriedades dos polgonos regulares.
  O quadrado tem simetria de rotao de 90. Por isso, no caso do parafuso de cabea quadrada, aps um giro de 90, a chave pode ser retirada e encaixada novamente na posio inicial. Para seguir parafusando, d-se um novo giro de 90. Com quatro giros de 90, o parafuso faz uma volta completa.
  No caso do parafuso sextavado (cabea hexagonal), completa-se a volta com seis giros de 60.
  Consertando um automvel, muitas vezes o mecnico tem pouco espao para girar a chave. Por isso, o parafuso hexagonal  mais prtico do que o de cabea quadrada, porque exige giros menores. Por essa razo, parafusos de cabea hexagonal so mais comuns.
  Ento, por que no usar polgonos com ngulo central ainda menor? Eles possibilitariam roscar os parafusos com movimentos ainda mais curtos. Por exemplo, se a base da cabea fosse um octgono regular, os giros teriam apenas 45. 
<51>
  Essa vantagem do octgono  anulada pelo seguinte fato: o octgono regular est mais prximo do crculo que o hexgono regular.
  A chave usada para roscar esses parafusos nunca se ajusta perfeitamente  cabea, h sempre uma pequena folga. Com o uso, a tendncia  a cabea do parafuso ficar arredondada ("espanada", na linguagem dos mecnicos). Se a cabea fosse octogonal, esse arredondamento aconteceria mais depressa do que no caso da cabea hexagonal.
<p>
  E os parafusos com cabea pentagonal, seriam prticos? Afinal, o pentgono tem ngulos muito prximos dos do hexgono.
  Veja como seria a chave para a cabea pentagonal e como ela teria de ser encaixada no parafuso. S h uma maneira de encaix-la: de cima para baixo.

<R+>
_`[{figura descrita por sua legenda_`]
 Legenda: Os lados do pentgono no so paralelos, o que restringe as possibilidades de ajuste da chave.
<R->

  Esse parafuso seria bem menos prtico que os de cabea quadrada ou hexagonal. Nesses casos, a chave pode se encaixar de duas maneiras, o que  bastante til.

<R+>
_`[{figura descrita por sua legenda_`]
 Legenda: A chave pode ser ajustada de duas maneiras porque os 
<p>
  lados opostos do hexgono so paralelos.

 Em resumo, h duas fortes razes para existirem apenas parafusos de cabea quadrada ou hexagonal. Com base nesse texto, escreva quais so elas.
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Primeira Parte